斯特林公式(n的阶乘近似)

2017年07月17日 10点热度 0人点赞 0条评论

斯特林公式

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斯特林公式(Stirling's approximation)是一条用来取n的阶乘近似值的数学公式。一般来说,当n很大的时候,n阶乘的计算量十分大,所以斯特林公式十分好用,而且,即使在n很小的时候,斯特林公式的取值已经十分准确。
中文名
斯特林公式
外文名
Stirling's approximation
别    称
斯特灵公式
表达式
n!≈√(2πn)·(n/e)^n
提出者
亚伯拉罕 棣莫弗
应用学科
数学
适用领域范围
数学
适用领域范围
数学

定义

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斯特林公式在理论和应用上都具有重要的价值,对于概率论的发展也有着重大的意义。在数学分析中,大多都是利用Г函数、级数和含参变量的积分等知识进行证明或推导,很为繁琐冗长。近年来,一些国内外学者利用概率论中的指数分布泊松分布、χ²分布证之。

应用

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求n!的位数

利用斯特林(Stirling)公式的进行求解。下面是推导得到的公式:
  res=(long)( (log10(sqrt(4.0*acos(0.0)*n)) + n*(log10(n)-log10(exp(1.0)))) + 1 );
  当n=1的时候,上面的公式不适用,所以要单独处理n=1的情况!
  这种方法速度很快就可以得到结果。

斯特林公式的形式

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斯特林公式(n的阶乘近似)
或更精确的
斯特林公式(n的阶乘近似)
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证明

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所以

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,即单调递减,又由积分放缩法有

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,即

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单调有界定理

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的极限存在,

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利用Wallis公式

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所以

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更加精确的公式

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更加精确的近似公式为:
斯特林公式(n的阶乘近似)
其中:
  • .
斯特林公式(n的阶乘近似) 

斯特林公式实际上是以下级数(现在称为斯特林级数)的第一个近似值。

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update

纸上得来终觉浅, 绝知此事须躬行。