第二章 矩阵变换与线性方程组 章节测验【含答案】线性代数 考试

(1)判断题

向量组\(\left( {\matrix{ { - 1} \cr 3 \cr 1 \cr } } \right),\left( {\matrix{ 2 \cr 1 \cr 0 \cr } } \right),\left( {\matrix{ 1 \cr 4 \cr 1 \cr } } \right) \)线性相关.

(2)填空题

非齐次线性方程组\(\left\{ {\matrix{ {\lambda {x_1} + {x_2} + {x_3} = 1} \cr { { x_1} + \lambda {x_2} + {x_3} = \lambda } \cr { { x_1} + {x_2} + \lambda {x_3} = {\lambda ^2}} \cr } } \right.\)有无穷多解,则\(\lambda=\)[填空1]

(3)判断题

向量组与它的任意极大无关组等价.

(4)判断题

n阶可逆方阵的秩等于n.

(5)单选题

设非齐次线性方程组\(Ax = b\)的导出组为\(Ax = 0\),如果导出组仅有零解,则\(Ax = b\)

B  必有零解.

A  必有无穷多解.

C  无解.

D  A,B,C都不对.

(6)单选题

设\( A \)为 \( n \)阶方阵,且\( \left| A \right| = 0 \) ,则(  )

B  \( A \)中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合

D  \( A \)中至少有一行(列)的元素全为0

C  \( A \)中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合

A  \( A \)中必有两行(列)的元素对应成比例

(7)单选题

设三阶方阵\( A \)的元素全为1,则\( R(A) \)为( )

B  1

D  3

A  0

C  2

(8)填空题

矩阵\(\left( {\matrix{ 3 & 1 & 0 & 2 \cr 1 & { - 1} & 2 & { - 1} \cr 1 & 3 & { - 4} & 4 \cr } } \right) \)的秩为[填空1]

(9)判断题

矩阵\(\left( {\matrix{ 1 & 0 & 2 & 0 & { - 2} \cr 0 & 1 & { - 1} & 0 & 3 \cr 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr } } \right) \)为行最简形.

(10)判断题

在秩是\(r\)的矩阵中,没有等于0的\(r\)阶子式.

(11)单选题

设\({A_{n \times n}}\),则r\((A)\) = r < n  的充分必要条件是

A  \(A\)的任意一个\( r \)阶子式都不等于零

B  \(A\)的任意一个\( r +1 \)阶子式都等于零

C  \(A\)的任意\( r \)个列向量都线性无关

D  \(A\)的任意\( r +1 \)个列向量线性相关,而有\( r \)个列向量线性无关

(12)判断题

设非齐次线性方程组\(Ax = b\)的导出组为\(Ax = 0\),如果\(m < n\),则\(Ax=0\)必有非零解.

(13)判断题

从矩阵\(A\)中划去一行得到矩阵\(B\),则\(R(A) \ge R(B) \)

(14)判断题

矩阵的秩等于矩阵所对应列向量的秩.

(15)判断题

矩阵\(\left( {\matrix{ 1 & { - 1} & 2 & { - 1} \cr 0 & 4 & { - 6} & 5 \cr 0 & 0 & 0 & 0 \cr } } \right)\)为阶梯形矩阵.

(16)单选题

设方阵\( A \)和\( B \) 等价,\( A \) 的所有\( k \) 阶子式全为零,则(   )

D  \( r\left( B \right) \le k \)

A  \( r\left( B \right) < k \)

C  \( r\left( B \right) \ge k \)

B  \( r\left( B \right) = k \)

(17)判断题

若向量组\({a_1},{a_2}, \cdots ,{a_m}\)是线性相关的,则\({a_1} \)可由\({a_2}, \cdots ,{a_m}\)线性表示

(18)单选题

设\( A \)为\( n \) 阶方阵, \( B \)是\( A \)经过若干次初等变换后得到的矩阵,则(  )

C  若\( \left| A \right| = 0 \) ,则必有 \( \left| B \right| = 0 \) 

B  \( \left| A \right| \ne \left| B \right| \)

A  \( \left| A \right| = \left| B \right| \)

D  若\( \left| A \right| > 0 \),则一定有\( \left| B \right| > 0 \)

(19)单选题

设\(n\)元齐次线性方程组\(Ax = 0,R(A) = r < n,\)则基础解系含有解向量的个数为(  )

D  \(n-r\)

A  \(n\)

C  \(n+r\)

B  \(r\)

(20)单选题

设有向量组\( {\alpha _1} = {\left( {\matrix{   {1,} & { - 1,} & {2,} & 4  \cr  } } \right)^T} \),\( {\alpha _2} = {\left( {\matrix{   {0,} & {3,} & {1,} & 2  \cr  } } \right)^T} \),\( {\alpha _3} = {\left( {\matrix{   {3,} & {0,} & {7,} & {14}  \cr  } } \right)^T} \),\( {\alpha _4} = {\left( {\matrix{   {1,} & { - 2,} & {2,} & 0  \cr  } } \right)^T} \),\( {\alpha _5} = {\left( {\matrix{   {2,} & {1,} & {5,} & {10}  \cr  } } \right)^T} \),则该向量组的极大线性无关组为(    )

A  \( \matrix{    { { \alpha _1},} & { { \alpha _2},} & { { \alpha _3}}  \cr  } \)

D  \( \matrix{    { { \alpha _1},} & { { \alpha _2},} & { { \alpha _4},} & { { \alpha _5}}  \cr  } \)

C  \( \matrix{    { { \alpha _1},} & { { \alpha _2},} & { { \alpha _5}}  \cr  } \)

B  \( \matrix{    { { \alpha _1},} & { { \alpha _2},} & { { \alpha _4}}  \cr  } \)

(21)单选题

下列矩阵中,不是初等矩阵的是(              )

D  \( \left( {\matrix{   1 & 0 & 3  \cr    0 & 1 & 0  \cr    0 & 0 & 1  \cr  } } \right) \)

A  \( \left( {\matrix{   1 & 0 & 0  \cr    0 & 0 & 1  \cr    0 & 1 & 0  \cr  } } \right) \)

C  \( \left( {\matrix{   1 & 3 & 0  \cr    0 & 0 & 1  \cr    0 & 1 & 0  \cr  } } \right) \)

B  \( \left( {\matrix{   1 & 0 & 0  \cr    0 & { - 3} & 0  \cr    0 & 0 & 1  \cr  } } \right) \)

(22)单选题

设\({u_1},{u_2}\)是非齐次方程组\(Ax=b\)的两个解,若\({c_1}{u_1}+ {c_2}{u_2}\)是其导出组的解,则有(  )

C  \({c_1}+ {c_2}=1\)

A  \({c_1}+ {c_2}=0\)

B  \({c_1}= {c_2}\)

D  \({c_1}+ {c_2}=2\)

(23)判断题

非齐次线性方程组\({A_{m \times n}}{x_{n \times 1}} = {b_{m \times 1}}\),当\(R\left( A \right) = R(A\,b) = n \)时,方程组有唯一解.

(24)填空题

设向量组\( {\alpha _1},{\alpha _2},{\alpha _3} \)线性无关,\( {\beta _1} = {\alpha _1} + {\alpha _2},{\beta _2} = {\alpha _2} + {\alpha _3},{\beta _3} = {\alpha _3} + {\alpha _1} \),则\( {\beta _1},{\beta _2},{\beta _3} \)向量组线性[填空1]

(25)判断题

非齐次线性方程组的任意两解之和是对应的齐次线性方程组的解.

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